现代航空推进系统对推质比的苛刻要求使压气机的设计载荷不断增大，叶排间的间距也越来越紧凑，导致叶排间的非定常效应日趋突出．随着对叶轮机性能、成本、寿命，噪声和可靠性要求的进一步提高，设计过程中势必要越来越多地考虑这种非定常效应．当前压气机设计体系中普遍采用的定常模拟技术，由于在叶排交界面处理时采用掺混面平均的方式而无法充分模拟级间干涉，进口畸变，热斑迁移和旋转失速等固有非定常现象．而传统的非定常模拟技术ＵＲＡＮＳ（ｕｎｓｔｅａｄｙＲｅｙｎｏｌｄｓ－ａｖｅｒａｇｅｄＮａｒｖｉｅｒ－Ｓｒｏｋｅｓ）虽能完整保留非定常流动细节却因计算时间和硬件成本过于昂贵而难以为工程界所接受．因此，对于高效非定常建模技术的研究一直是学术界研究的热点［１］．由于计算的高效性，采用降阶建模的线化时间法一直广泛应用于叶轮机的颤振预测中［２－３］．其实质为将流动变量分解为定常项和小的线性扰动项．相比常规的非定常方法在时域内进行求解，线性扰动方程被转化为傅里叶系数方程在频域内进行求解，在计算花费上仅相当于求解两个定常问题．虽然由于其线性假设不能模拟流场中强激波或其它的非线性现象，但傅里叶变换的求解思路却通过各学者们更精妙的建模手段不断深入和发展．形成了在频域内求解的非线性谐波（ｎｏｎｌｉｎｅａｒｈａｒｍｏｎｉｃ，简称ＮＬＨ）法［４－６］，在时域内求解的时域谱方法［７］（ｔｉｍｅｓｐｅｃｔｒａｌｍｅｔｈｏｄ）以及在时域／频域混合求解的谐波平衡法［８－１０］（ｈａｒｍｏｎｉｃｂａｌ－ａｎｃｅｍｅｔｈｏｄ）这三大类别．这其中Ｈｅ的非线性谐波法由于建模思想相对简单，精度较高，且不需经验参数而受到国内外学者的广泛关注［１１－１４］．ＮＬＨ法延续了线化时间法的求解思路，仅用时均方程代替线化时间法中的定常方程，将流动变量分解为时均流场和脉动流场两部分进行耦合求解．通过在动量和能量方程中由于其方程非线性多出的确定应力项来在时均框架内计及非定常效应．时均流场通过解包含确定应力的时均流动方程得到，而脉动方程则将非定常流沿着交界面上下游进行在时间和空间上的傅里叶分解，反映上下游叶排对其的周期性扰动．最终得到的解集包含时均解，各谐波扰动项的幅值和频率．此方法结合相延迟边条后仅需在单个叶片通道上进行求解，大大减少了求解时间．ＮＬＨ法最大的特点是可通过控制扰动源数目和傅里叶阶数来控制求解精度．理论上当阶数无穷大时，交界面上的非定常流场的连续性无限满足．然而求解阶数越高，计算所花费的时间越多．因此求解的关键是确定需要考虑前几阶谐波才能可靠计算确定应力的分布和时均性能指标．如需只计算前２阶或前３阶，该方法的计算量相比常规非定常方法能够降低１～２个数量级．Ｃｈｅｎ［５］通过对德国宇航院的单级跨声压气机研究认为２阶谐波是在计算成本和计算精度间最佳折衷．国内王晓峰对一低速单级涡轮进行模拟也认为２阶谐波模拟已能满足工程需要．Ｈｅｍ－ｂｅｒａ［１１］以一工业燃气轮机的跨声级为研究对象，发现３阶谐波能够较好的重现设计点处的非定常流场，但在近失速点处，由于旋转失速并非为与转静干涉相关的周期性非定常现象，需要更多的阶数才能真实模拟流场中的大尺度非线性．Ｇｕｉｄｏｔ－ｔｉ［１２］对麻省理工学院的吸附式跨声对转风扇进行了数值模拟，并与暂冲试验台上的测量结果相比较，表明１阶和２阶谐波预测的效率差别达到１％，且高阶谐波的预测值与试验吻合度更高．Ｓｉ－ｃｏｔ［１０］也通过谐波平衡法对ＣＭＥ２单级亚声压气机进行不同谐波阶数的参数化研究，发现至少需要４阶精度才能获得较为满意的交界面熵值连续．因此，虽然理论上高阶谐波由于幅值很小可以忽略，但由于研究对象和研究工况点的差异，目前并没有形成捕捉非定常现象所需最少谐波阶数的共识．为此，本文以课题组的双级对转压气机为研究对象，分别对谐波阶数为２～５的ＮＬＨ法进行参数化校检，旨在从宏观总体性能指标和微观流场结构上详细分析达到工程精度所需的谐波阶数，并与常规非定常模拟方法加以对比，探究动－动干涉的流动机理．望有助于ＮＬＨ法的实际工程应用．

１计算模型与方法

１．１几何模型本文依托西北工业大学的双级对转压气机试验台，其详细的气动设计参数和试验结果见文献［１５－１６］．由于进口导叶（ＩＧＶ）和出口导叶（ＯＧＶ）均为零弯度设计，不对气流产生预旋，且与两排转子的设计轴向间隙也较大，ＩＧＶ的尾迹和ＯＧＶ的势流干涉都较为微弱．为降低计算内存需求，对计算域进行适当简化，移除ＩＧＶ和ＯＧＶ，将关注重点放在两排转子间的动－动干涉现象上．

１．２非线性谐波法ＮＬＨ法的基本原理将所求解的守恒性变量分解为时均值与周期性扰动之和，并利用叶排干涉的固有周期性对周期性扰动项通过傅里叶分解，用Ｎ阶谐波进行逼近，并忽略Ｎ以上的高阶项，则有其中ｒ为位置矢量，ｔ为时间，Ｕ′为守恒变量的周期性扰动项，Ｕｋ和Ｕ－ｋ为共轭复数，其模为扰动幅值，Ｎ为可指定捕捉到的非定常频率项，即谐波阶数．将式（１）和式（２）带入守恒型非定常流动方程中，并进行时间平均，可得相应的时均方其中Ωｉ为网格单元的体积，Ｆｃ和Ｆｖ分别是离散的对流项和黏性项，Ｓ为面积，Ｑ为源项．其具体展开式详见文献［１４］．展开式中所含未知数的个数是原Ｎ－Ｓ（Ｎａｒｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ）方程未知数个数的２Ｎ＋１倍，求解谐波方程仅相当于求解２Ｎ＋１个时刻的定常方程．当求解阶数较低时，相比ＵＲＡＮＳ方法能够大大降低计算时间．但由于求解过程中增加了同时求解的附加方程数，所需内存相比ＵＲＡＮＳ也急剧增大．Ｖｉｌｍｉｎ［１３］建议通过式（４）初步估算使用ＮＬＨ法与定常求解所需的运算时间其中Ｎｅｑｕ为定常求解的方程数量，若采用一方程模型控制方程数量为６．ｎｂｐｆ为上下游叶排对中间叶排的扰动源数量，由于移除上下游导叶，各排转子流场中均只存在１个扰动．系数１０是需求１０个附加的傅里叶系数方程，分别是速度矢量，压力和温度的实部及虚部．可见ＮＬＨ法实质是一种计算空间换取计算时间的非定常算法，若要在工程中得到广泛运用，其关键是能否使用工业界所能承受的计算资源得到足够精度的计算结果．

１．３前处理和计算设置计算借助Ｆｉｎｅ／Ｔｕｒｂｏｓ软件包中的Ｈａｒ－ｍｏｎｉｃ模块，求解相对坐标系下守恒形式的三维Ｎ－Ｓ方程，控制方程的对流项使用２阶对称ＴＶＤ（ｔｏｔａｌｖａｒｉａｔｉｏｎｄｅｍｉｎｉｓｈｉｎｇ）迎风格式，采用４阶显式龙格库塔获得时间项上的２阶精度．结合先前课题组在该对转压气机的数值校检经验，选用Ｓ－Ａ（Ｓｐａｌａｒｔ－Ａｌｌｍａｒａｓ）模型作为ＮＬＨ法阶数校检的湍流模型．考虑到高阶ＮＬＨ法对内存要求较高，数值校检在课题组的ＩＢＭＢｌａｄｅＣｅｎｔｅｒＨＳ２１刀片服务器上采用ＯＭＰＩ（ｏｐｅｎｍｅｓｓａｇｅｐａｓｓｉｎｇｉｎｔｅｒｆａｃｅ）协议进行并行计算，并行ＣＰＵ（ｃｅｎｔｒａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｕｎｉｔ）数目为１０个．网格设置使用ＡＵＴＯＧＲＩＤ５为每个叶片通道生成ＨＯＨ型网格．叶尖间隙内采用蝶形网格控制网格质量．Ｖｉｌｍｉｎ［１３］认为若要成功运用ＮＬＨ法再现叶排间的流动状况，上下游叶排的周向网格数需达到如下要求Ｎｕ和Ｎｄ分别为上下游叶排的叶片数．根据其给出的网格限定，所有计算均在表１中的网格下进行．数值验证在该对转压气机的气动设计点下进行，边界条件按试验测量值给定总温、总压以消除由于边条设置不当而引入的计算误差，出口给定静压，转子间的交界面处采用一维无反射边条抑制压力波的反射．时均方程中的周期性边条处理与定常计算类似，谐波方程的周期性通过施加相位延迟角来构成移相边条［１７］．对转压气机转子间空间狭小，常规的非定常测量手段难以展开，而非接触式的粒子图像测速仪测量仍处于摸索阶段，尚未获得为全流场的非定常数据．因此，为充分验证ＮＬＨ法的计算精度，采用双时间步长的ＵＲＡＮＳ方法与其进行对比验证．由于两排转子叶片数比分别为１９∶２０，为避免进行全周期非定常模拟，采用ＤｏｍａｉｎＳｃａｌｉｎｇ方法将转子１缩小０．９５倍，并将叶片数比约化为１∶１，以保证轴向间隙和稠度不变．为保证通过快速傅里叶变换后非定常信号至少能够辨识出前５阶谐波的频率，物理时间步长根据奈奎斯特采样定律选取为１个掠扫周期的１／１２０倍．通过在５０％叶展动－动交界面处安置数值探针监控流场的收敛性，并采用ＦｒｏｂｅｌＴ［１８］的周期性差异算子Γ来判断非定常流场是否达到周期性，其定义见式（７）．如图１所示，经过９个周期后Γ基本接近０，且数值探针出现周期性波动，据此认为计算收敛，计算总耗时为每小时１８０个ＣＰＵ．图２为将数值探针的压力波动通过快速傅里叶变换（ＦＦＴ）得到的频谱图，可见，在该采样频率下最多能识别前６阶谐波分量，因此本次模拟中的ＵＲＡＮＳ方法精度足以对ＮＬＨ法进行校检．

２结果分析

２．１性能参数和计算耗费对比图３和图４为试验测量、定常、ＵＲＡＮＳ时均和不同阶数的ＮＬＨ法的设计点效率和压比对比．如图４所示，对于总压比，各种数值预测结果均与测量值具有良好的一致性．而效率预测的差别却与试验相差较大．值得说明的是，由于该对转压气机设计总温升较小，且试验过程中受变频电机干扰，出口截面温度的测量受试验环境温度变化的影响较大，导致测得的效率偏低，详细的试验测量过程见文献［１５］．对比ＮＬＨ法与ＵＲＡＮＳ时均解的效率预测结果表明各阶ＮＬＨ法相比定常解更接近时均值．２阶谐波预测得到的效率与时均解相差１．１１％，而３阶谐波时已非常接近时均值，仅存在０．３３％的差异，随着谐波阶数的增多，效率差异进一步减小，５阶谐波与时均值所预测的效率已基本一致．图３中还可发现，定常与时均效率差别达到１．４３％，表明受动－动干涉影响，对转压气机中的非定常效应较为强烈．图５为ＮＬＨ法相比ＵＲＡＮＳ所耗费的计算时间和使用内存数对比．不难发现，使用ＮＬＨ法后计算花费最多能降低１个数量级，仅考虑前２阶谐波时，计算量相比ＵＲＡＮＳ降低多达２８倍，内存需求却仅增大５倍．随着阶数的增加，计算耗费也呈非线性增长，５阶谐波后ＮＬＨ法相比ＵＲＡＮＳ计算时间上的优势已大大降低，但内存需求却更加苛刻．由于对总压比的预测各阶ＮＬＨ法的精度都较高，故本文仅给出转子２出口１０％弦长处的展向效率分布对比．如图６所示，虽然总体趋势上定常与ＵＲＡＮＳ时均值较为一致，但在某些径向位置处仍存在一定差异．１０％～７０％叶展处时均值预测的效率较高，从下文流场结构分析中可知这是因为ＵＲＡＮＳ成功捕捉到了尾迹恢复对性能提升的正效应．７０％以上叶展处，ＵＲＡＮＳ时均值效率相比定常计算较低，这是因为上游转子尾迹与下游转子泄漏涡间的干涉效应要强于恢复机制．相比定常模拟，各阶ＮＬＨ法的展向效率分布均能够不同程度的计及尾迹恢复效应，阶数越高，其分布与ＵＲＡＮＳ时均值越为接近．

２．２交界面对比图７给出了定常和不同阶数下的ＮＬＨ法沿流向的周向平均熵值．两转子的交界面位于０．０６３ｍ处．不难发现，定常求解的熵值在交接面上存在突跃，这是由于使用掺混面平均后转子出口处的尾迹被掺混完全，仅守恒量的周向平均值能够传递至下游叶排，导致在交界面上产生虚假的掺混损失．使用２阶ＮＬＨ法后，熵值突跃现象被大幅削弱，并使得下游叶排的熵值也有所降低．３阶ＮＬＨ法计算时交界面处的掺混损失已恢复了９４％．进一步增大谐波数时，熵值通过交界面的连续性也更好．理论上，当阶数无穷大时，交界面上的参数会达到无限连续，在本次验证中，５阶ＮＬＨ法产生的熵值突跃已基本消除，即达到Ｃｈｅｎ所认为的“谐波收敛”［５］．综合考虑，３阶ＮＬＨ法是在计算成本和计算精度间最佳折衷．图８为对１，２，３，５阶ＮＬＨ法重构得到的瞬态熵云图在交界面处的放大．１阶谐波重构后的熵等值线在交界面处的中断非常明显，上游转子尾迹在通过交界面后也发生了一定程度的稀释．２阶和３阶谐波熵等值线的连续性已大为改善，并成功捕捉到了转子１尾迹被转子２切割并在转子２通道中的拉伸和迁移现象．虽然对转压气机的设计中取消了静子叶排并将两转子反向旋转，但尾迹拉伸现象与常规压气机中并无本质区别．值得注意的是，５阶谐波时交界面处的熵等值线仍非完美，这主要是由于两个转子的叶片数不一致导致周向网格的非匹配，在使用移相边条时产生的插值误差所致．

２．３动－动干涉机制分析图６中表明在３０％～８０％叶展处的ＵＲＡＮＳ时均和ＮＬＨ法预测的效率均高于定常模拟，这可以通过Ｓｍｉｔｈ的尾迹恢复模型加以解释．Ｓｍｉｔｈ［１９］模型基于环量守恒理论，即为保证尾迹段中的环量守恒，尾迹亏损与尾迹段的长度成反比．如图９所示，上游叶排尾迹在受到下游叶片前缘切割后在通道中输运，并由于无黏尾迹的拉伸而降低尾迹亏损，实现性能增益．Ｓｍｉｔｈ还定义了尾迹恢复因子来表征尾迹恢复机制的强弱，其定义为Ｌｉｎ和Ｌｏｕｔ分别为尾迹段在下游叶排进口和出口处的长度．可通过测量Ｌｉｎ和Ｌｏｕｔ来估计尾迹衰退中无黏尾迹恢复和黏性掺混机制所占的比例．Ｒ越大时，尾迹恢复效应越为明显．图１０为Ｓｍｉｔｈ理论预测的３阶ＮＬＨ法重构得到的尾迹衰减沿下游通道中的分布．图中Ｌ．Ｅ．表示前缘，Ｔ．Ｅ．表示尾缘．如图１０所示，约６０％的尾迹衰减是由无黏的尾迹恢复效应主导，仅４０％受黏性掺混影响．由于定常模拟在交界面处完全掺混，未能够计及尾迹恢复这种非定常效应．然而还存在另一种非定常机制对总体性能产生影响，即逆射流效应．图１１给出了转子２通道内的某瞬时的扰动速度场，其定义为瞬时涡度与时均涡度之差．可以观察到上游尾迹中的低能流体与下游转子边界层的强烈干涉，导致在通道内交替出现局部正涡量和负涡量，且由于尾迹衰减，涡量在通道内输运过程中不断减小．滑移速度的存在使得上游尾迹中在下游转子通道中漂移，进而导致下游转子压力面处的尾迹段增厚，吸力面处尾迹段变薄的逆射流现象，如示意图所示．Ｖａｌｋｏｖ［２０］通过简化模型证实了这种逆射流机制会导致增加损失，且与进口处的尾迹厚度和约化频率相关．图１３为转子２在５０％叶展出口处的定常，ＵＲＡＮＳ时均和３阶ＮＬＨ法相对总压恢复系数沿周向分布，不难发现，受逆射流机制的影响，ＵＲＡＮＳ时均解在近壁面边界层处的损失较高，而在通道中间的主流区中主要影响机制为尾迹恢复效应，因而时均损失比定常损失较低．３阶ＮＬＨ法的损失分布趋势与时均相同，但对逆射流效应的细节捕捉与ＵＲＡＮＳ时均还存在一定差异．总体来说，由于尾迹恢复比逆射流效应更为显著，中叶展处的ＵＲＡＮＳ时均损失低于定常计算，这也是图６中３０％～８０％处时均效率较定常效率更高的原因．叶尖截面处上游转子的泄漏涡和尾迹在下游通道中的拉伸和掺混使得无黏恢复和黏性逆射流两种机制同时存在．但由于下游转子泄漏涡的存在，干涉机制更为复杂．如图１４所示，上游尾迹通过与下游转子叶尖泄漏流的干涉，尾迹段的方向水平折转了近３０°，使其更平行于下游转子通道，而这种尾迹折转效应根据Ｓｍｉｔｈ理论对性能是有害的．如原始尾迹长度为Ｌ，由于尾迹发生折转使得尾迹段长度变为Ｌ•ｓｉｎ３０°，致使尾迹段的无黏拉伸减弱了５０％，进而导致逆射流对性能的负效应超过了尾迹恢复的正效应，这可能是８０％以上叶展时均效率低于定常效率的原因．

３结论

本文通过对课题组的双级对转压气机进行不同阶数的非线性谐波法校检，与试验测量和常规非定常结果进行了详细对比，对成功进行谐波计算所需要的网格，内存和ＣＰＵ资源进行了详细探讨，得到以下结论：①受动－动干涉影响，该对转压气机中的非定常现象较为强烈，定常和非定常时均模拟结果在效率预测上存在着１．４３％的差异．不同阶数的谐波计算都能在不同程度上考虑这种非定常效应，５阶ＮＬＨ法与时均值所预测的效率已基本一致．②非线性谐波法可有效捕捉对转压气机中动－动干涉的非定常特性．随谐波阶数的增加，对动－动干涉的模拟更加真实．３阶ＮＬＨ法能够在本算例中获得计算成本和计算精度间最佳折衷，具有良好的工程应用前景，但其准确性仍需在更多算例上进行验证．③对于本文所研究的亚声对转压气机，中叶展处的尾迹恢复效应强于逆射流效应，使得非定常时均效率高于定常效率，而在叶尖处由于存在泄漏涡的干涉，导致恢复效应减弱，非定常时均效率低于定常效率．３阶ＮＬＨ法已能够捕捉到这种非定常效应导致的展向效率差异．④本文是针对去除上下游导叶的双级对转压气机进行验证，下一步计划将导叶包含至计算域内，使转子叶排包含上下游两个扰动源，更能真实模拟多级压气机环境下的非定常流动特征，并着重针对近失速点工况的考察，这些工作目前正在展开．

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