高考制度改革的统计学研究
（江苏省教育考试院 厉浩）
[摘要]
高考制度改革是一件牵涉全社会利益的事情。本文利用统计学的思想，探究与高考有关的措施办法是否需要改革，对拟采用的改革措施可能产生的各种结果进行定量的预测或验证，从而提高高考改革的实施效果。
[关键词]高考 改革 统计学 实证研究
Abstract:
Reform of national college entrance examination system is an very important thing to our social life. The article uses the thinking of statistics to discuss
the need for reform of college entrance examination measures, to forecast or authenticate the results of reform measures quantitatively. Thus the results of the reform implementation will be improved.
Keyword:
college entrance examination, reform, statistics，empirical Study
我国自1977年恢复高考以来,高考制度基本上是在稳步中求发展,在继承中求创新。但近来十多年来,随着社会转型的加剧和教育事业团体发展的加快,高考制度面对着越来越多的质疑与责难,高考改革的呼声也一浪高过一浪。特别是在新课程改革推行以来,为与新课程改革理念相配套，高考改革更是迫不及待。
高考改革的任务是在素质教育和新课程理念之上，建立越发有利于高校选拔合适生源的高考制度。目前的一些改革措施，多是通过理论研讨的办法，从定性研究的角度在宏观层面得出的结论。本文拟从定量分析的角度，在微观层面对相应的高考样本数据进行探究，对高考制度革措施可能产生的各种结果可以有一个定量的预测，从而提高改革措施的实施效果，别的也给有关领导和专家开展宏观研究提供相应依据。
一、高考改革中的统计学思想
高考制度改革的过程，可以看作是一个连续“比较”的过程：首先比较现有考试招生制度对不同考生人群中是否存在不公平，相比别的考试制度是否不科学等，然后经过研究探究提出一种新的制度，再比较新的制度是否
假设查验分为两个阶段：统计假设与统计查验。统计假设是指当对情况不太清楚的总体无法作出肯定性的或否定性的结论时，即根据样本信息对未知总体分布（或总体参数）情况作出相应的假定性判断。统计查验是指通过已知样本信息，对原假设H0作出接受（肯定）或拒绝(否定)的统计决议过程，具体地说，是在假设H0成立的前提下，建立一个合适的统计量及其抽样分布，并将该查验量的实际观察值计算出来，与理论临界值进行比较，最终作出统计决议。
统计学中常用的抽样分布有标准正态分布（Z分布）、t分布、 （读“卡方”）分布等，其相应的查验量有Z值、t值、 值，其对应的统计查验即称之为Z查验、t查验、 查验。使用什么类型的统计查验更为合适，要根据拥有的数据情况、研究类型和统计推断目标等要求来加以判断。在高考研究中，常常要对如“英语科目平均分”等平均值或“本科上线率”等比率进行查验，一般使用Z查验或 查验。
1．Z查验
根据统计学中心极限定理，来自于同一个总体的相互独立的随机变量（譬如某省列位考生的高考结果）X1,X2,X3,…,Xn，满足如下性质：当n充分大时， 近似地听从标准正态分布。其中 为随机变量的样本数据的均值， 为总体的数学盼望， 为总体的方差。
在有关高考的研究中，研究对象（考生结果）的数量一般都是巨大的，能够满足“充分大”的要求，故可以以为 近似听从标准正态分布，也可以用样本方差S取代总体的方差 。记Z= ，Z查验即为对样本数据计算 的值，并与标准正态分布的理论临界取值进行比较的过程。
对于两个总体均值（譬如理科生平均结果X1和文科生平均结果X2）之间的比较的查验，有如下分析：当充分大时， 和 近似听从标准正态分布，则 近似听从标准正态分布，可按Z= 进行Z查验。
2.标准分
当高考结果严格听从正态分布时，如考生原始分为X，则z= 即为他的标准分。标准分具有科目之间的等值性和科目结果的可加性等优点[3]。在实际研究中，因各科目结果有时会偏离正态分布，故一般先对各科目结果进行正态化转换，如下办法计算标准分：先将全体考生按原始分从高到低排序，算出每一个原始分以下的考生占全体考生总数的百分比，再按这个百分比检索正态分布表，找出它的正态分数z。这样计算出来的标准分z，均值为0，有的考生的标准分为正数，有的为负数。为符合人的习惯，一般作t=a+bz的转换，根据正态分布的纪律，可以使考生的标准分均值t为a，且99.99%以上考生的标准分分布在a-4b和a+4b之间，取合适的a,b值，即可以为全部考生的标准分均为正数。
3． 查验
分布为标准正态分布变量Z的平方和的分布。 查验一般用于比率性质的查验。直观地理解，当样本（与总体的）比的分布呈正态分布时，假如两个样本比之间险些没有差异，那么它们的差就应该很小且也听从正态分布，差的标准化统计量z值也应该很小，相应的 值也应该比较小。假如说根据所提供的资料计算出来的 值居然大于相应的理论临界值（明显性水平），那么就有来由怀疑两个样本比之间是否真的没有明显差异。
二、高考改革实证研究
本文抽取近年来高考样本数据，采用假设查验等统计技能来论证目前的考试招生办法是否需要改革，同时也对相应改革方案的效果进行预测或查验。
某省平凡本科线为540分，重点本科省控线为570分，620分以上（全省8000名左右）为最高分段。研究者抽取部分平凡本科线上考生总分分布如表1所示，以为本科线上考生结果分布（按分数段划分）与考生的科类可能有关联，由此引出文理科考生放在一起录取的办法是否需要改革的论题：
表1部分平凡本科线上考生总分分布
>=620570-619540-569合计
理科798321126566665
文科1451311571684
合计812372438138349
根据统计学原理，高考的“上线率”等比率性资料的样本分布属于二项分布（譬如考生要么上线了，要么不上线，不可能另有第三种情况）。而根据统计学中心极限定理，当样本数量充足大时，二项分项逼近正态分布。假如样本数据是以如表一的行列表形式表示的，那么根据二项分布的分布函数特点及 分布的定义，可以推导出 值的计算公式，从而进行 查验：
假设行列表共k行，l列。第r行样本总数为nr,Ar1为其中第1列的数值。
公式1
其中Arc为表中每格(第r行、第c列)内的实际数，Trc为相应的理论数。
根据中心极限定理，当样本数量充足大，可以以为 =nc/n,
代入公
公式2
在本例中，635以上分数段理科生有7247人，文科生有225人，理科生与文科生比例约为为33：1。本科以上总人数之比约为3：1，两个比例相差较大，其原因既可能是高分段确实是文科生偏少，也有可能是由抽样偏差（如此上述考生并不能代表全体考生的总体情况）所造成。现要求从统计学角度看，究竟是哪一种偏差的可能性较大。
（1）提出统计假设
运用统计学的方法，对上述两种可能作出相应的假定性判断：如果主要由抽样偏差引起的，那么重点本科上线文理学生比例与全体考生的文理学生比例还是基本一致的；假如确实是各分数段文理科学生结果分布不同引起的，那么重点本科上线文理学生比例将与全体本科考生的比例之间将确实存在差异。
相应的两种统计假设可以表述为：
H0:考生结果分布与科类无关，即文理考生结果的各分数段构成比雷同。
H1:考生结果分布与科类有关，即文理考生结果的各分数段构成比不同。
(2)建立查验统计量
根据问题性质，假设H0进行X2查验。
对上例用以上公式2计算X2值：
=8349*（7982/（6665*812）+32112/（6665*3724）+26562/（6665*3813）+142/（1684*812）+5132/（1684*3724）+11572/（1684*3813））-8349
=511.25
假如不区分是否处于高分段，将重点本科线上考生合并计算（即将表一中第一、第二
列值相加），则
=451.12
而明显性水平a=0.05,自由度为2（即研究对象为两类）的相应的 临界值为5.99。
因此本例中X2值远大于临界值。
(3)作出推断结论
在上例中，两个样本比之间没有差异的概率P<0.05,故拒绝两个样本比之间没有明显差异的假设。也就是说，本科线上考生结果分布（按分数段划分）与考生的
三、高考制度改革的价值取向
高考制度改革中应树立的正确的指导思想和必须依照的基本原则，即为高考改革的价值取向。本文选取某省高考录取抽样数据，针对高考改革中几个重要的价值取向问题，进行统计学分析。
(1)公平性
高考的公平性首先在于接受高等教育的机会均等。也就是说,高考能为人们提供平等的受教育的机会并为此提供保障,不考虑人与人之间的差异性,使一切参加高考的人能在完全雷同的竞争环境中展开竞争,让雷同学习本领的考生具备大抵相称的入学机会，体现“分数面前人人平等”[4]。那么，在全国各省份陆续进入新课程改革试验，考生参加考试的模块甚至科目不同的前提下，怎样判断有“雷同的学习本领”呢。根据美国sat考试[5]的考察内容，以及上海高考改革的经验，考生共同考试科目中的语文、数学标准化分之和的高低，基本上可以作为“一般学习本领”，标识一名考生学习本领的强弱。
根据表1中的数据，各科目组考生各语文、数学标准化分之和（根据满分150分，利用公式t=75+15Z计算）如表2所示（表中每格数值为（平均分/人数））：
表2 文理科生语数标准化分之和
重点本科线上平凡本科线上本科线下专科线上
理科199.08/4009177.86/2656152.63/7853
文科198.46/527178.99/1157140.50/10656
笔者使用以上数据对假设 = 进行Z查验，在三个分数段，Z值分别为2.83、-8.38和133.26,而a=0.05相应的临界Z值为1.96。因此，在各个分数段，理科生的语数标准分之和与文科生都有差异，而且两类学生的语数标准分的高低在不同的分数段另有不同的体现，因此，原制度在公平性上有所欠缺，应当予以改革。
(2)科学性
高考改革的科学性的一个重要体现，是在新的高考制度有助于高校录取到素质更全面的学生，同时要包管不能由于改革措施的实施而使所录取学生的文化学习本领下降。在承认学生的语数标准分之和可以基本上标识一名学习本领的强弱的前提下，就是要包管新制度下录取的学生的语数标准分之和不低于旧制度。
表3 两种高考录取制度上线情况统计表
重点本科线上平凡本科线上本科线下专科线上
旧制度199.00/4536178.20/3813145.65/18509
新制度202.24/4536180.72/3813146.22/18509
笔者使用以上数据对假设 > 进行Z查验，Z值分别为30.58, 31.83, 8.21,而a=0.05相应的单边查验临界Z值为1.64。在新高考制度下，各分数段考生的语数标准分之和将比旧制度要高，尤其是本科以上分数段学生。因此，从提高拟录取学生的文化学习本领的意义上看，新制度具有明显的科学性。
(3)稳定性
稳定性反映在统计数据中，就是高考制度的改革对考生的上线与录取情况应该影响不大。也即在原来的高考制度下能上线的学生，在新的制度下也能上线。高考制度改革要保持稳定性，是一个相对的概念，假如要保持绝对的稳定，那不做任何改革最稳定，也并非说对学生的上线与录取结果影响最小的改革措施就是最好的，相反地，为了提高高考的公平性和科学性所作的改革是必须。因此，如对涉及稳定性的假设进行查验，a值可以取小一些，比如a=0.01。
在上例中，假如拟对该省高考实施某项改革措施，改革前后文理考生的上线数据分别如表5和表6所示。
表4 高考制度改革前后文科生上线人数统计
本一线上本二线上本一线下合 计
改革前52711571684
改革后67215422214
表5 高考制度改革前后理科生上线人数统计
本一线上本二线上本一线下合 计
改革前400926566665
改革后386422716135
运用公式2进行计算， 本一线上=20.21, 本二线上=85， 本科线上=94.01,而明显性水平a=0.01、自由度为2（即研究对象为两类）的相应的 临界值为9.21,因此如单纯采用此项改革措施，在改革后，本一、本二线上的文科考生将有明显增加。因此，如实施该项改革，应当采取别的配套措施，以在一定程度上保持录取结果的稳定性。
事实上，考试领域的统计技能有很多种，比如说可以用相干分析来说明在英语科目中设置听力考试是否对理科学生、农村学生不公平？选择使用假设查验作为统计手段，主要是由于笔者以为，在我国现阶段，中学和各级地方政府部门和社会上将“均分”和“升学率”（具体表现为合格率、上线率和录取率等）作为衡量高考成果的重要标准，于是对高考制度改革的评价自然也离
四、结束语
本文利用统计学中有关技能，对高考制度改革中涉及的政策以及高考价值取向进行实证研究，从定量分析的角度对高考制度的改革进行一些有益的探究，给领导和相干研究人员提供改革决议依据。
[参考文献]
[1]盛骤，谢式千，潘成毅.概率论与数理统计（第三版）[M]，高等教育出版社，P213-219.
[2]凌云. 考试统计学[M]，华中示范大学出版社, P228.
[3]张亚萍,谢家功.建立高考标准分制度的思考，教育发展研究，1998,(3)
[4]郑若玲. 公平——考试变革的主旋律[J]. 江苏高教, 2007, (3).
[5]陈晓莹.美国SAT 考试的最新改革[J].比较教育研究, 2004, (10).
