作者：洪潘 罗戎蕾 陈慧 单位：浙江理工大学服装学院

引言

几何图案是一种历史悠久、深受人们喜爱的传统图案。为了丰富几何图案的表现形式，满足人们求新、求异的消费心理，迫切需求寻找适合几何图案设计的新素材。所以，数学图形的应用与研究，给传统的几何图案注入了新的活力。近年来，随着计算机技术的发展，数学图形作为在数学基础上发展起来的一门崭新艺术，开拓了综合科学与艺术新的研究领域。ＮｅｖｅｓＪ等［１］，ＨｕｄｅｃＧ等［２］从２０世纪９０年代中期开始对分形图案产生的方法、应用的可能性及前景进行了研究；ＡｍｉｄｏｎＣ［３］，ＲｏｄｉｅＪＢ［４］于２００１年开始将分形图案应用于提花织物与针织物中；格莱克在《混沌：开创新科学》中介绍了分形图形的基本概念和发展历史；曼德布罗特在《大自然的几何分形》中用分析、统计和拓扑等理论，分析了海岸线、云星团、等自然的不规则现象图形；美国的埃德加•Ｅ•彼得斯在《分形市场分析》中则对混沌和分形的理论与应用进行了广泛的研究；屈世显［５］、戚玉箐［６］从纺织图案设计的角度分别对应用分形、混沌图形的可能性及前景进行了讨论；张聿［７－９］等则对弱混沌与准规则斑图在纹织设计中的应用进行了探讨。但是，纯粹地通过数学模型产生几何图案及其简单的应用是不够的，而是要与时下几何图案流行趋势相结合，创造出既符合流行趋势，又充满数学艺术之美的恢弘设计的图案。

１适合几何图案设计的数学形式

适合几何图案设计的数学形成多种多样，在此主要介绍数学曲线以及弱混沌两种形式。深刻理解其数学原理，才能生成丰富多彩的几何图形。

１．１数学曲线数学曲线［１０］的类型多种多样，千变万化。下面介绍其中几种典型的数学曲线及其图形。

１．１．１递归曲线设大圆半径为Ｒ，小圆半径为ｒ，小圆内一点为Ｐ，递归螺线的数学方程为：（方程略）（图略）即为紧贴固定的大圆内侧运动的小圆内点Ｐ的运动示意。根据两圆半径以及Ｐ点位置的不同，结果亦不同，可以描绘出类似图略的轨迹

１．１．２追逐曲线设想四个虫子位于一个正方形的四个顶点上，并且从顶点出发开始追逐另外一个虫子，图略显示了这一过程的步骤，每个虫子的追逐过程连成一条４５°等角螺线，其极坐标公式为：ｒ＝ａｅθｃｏｔｂ。是整个追逐过程产生的正方形追逐曲线

１．１．３玫瑰曲线玫瑰线是一种以三角函数为基础的非多项式参数曲线，其包络线为圆弧，几何结构十分规则，具有明显的周期性，因其形状像玫瑰花，故命名为玫瑰线。在数学中，通常用极坐标方程ρ＝Ａ＋Ｂｃｏｓ（Ｍθ）来表示玫瑰曲线，式中Ａ和Ｂ取实常数，Ｍ取正整数。方程所形成的图案

１．２弱混沌图形在此研究的弱混沌图形包括均匀随机网和准规则斑图两种。

１．２．１均匀随机网均匀随机网由ｑ阶共振扭转映射所决定，其数学模型为：（式略）

１．２．２准规则斑图准规则斑图是通过对准对称随机网进行平滑操作获得的，它可以通过哈密顿量变换，由均匀随机网直接导出，其数学模型为：（式略）不难发现，这些数学图形有一种不同于传统图形的特殊形式美感，是一种全新的无法替代的图形，以及需运用计算机绘图软件所获得的图形。它遵循某种特定的规则方法，并且依据数字科学中某种严谨内部信息，进行由数到形的视觉信息转换，向人类描绘了以前无法看到的、来自原为“不可视”世界的更深层的美。它的结构极其精细，是人类传统手工很难绘制的，在视觉上更显其精美，而且其图形的视觉冲击力相当强烈。

２基于数学图形的染织图案设计

利用数学方法进行染织图案设计，主要采用两种形式：一是单一数学方法的染织艺术图形设计；二是利用组合数学方法进行艺术图形设计，或与其他图案有机结合，组成纹样，再连续成新的图案。

２．１单一数学方法的染织图案设计几何图案是一种历史悠久、深受人们喜爱的传统图案，最近一直流行于时尚舞台上。例如，纯线条、块状图、线面组合图等一类高度抽象的几何图形，根据当下图案流行趋势以及不同数学理论和计算机处理，实现其图案生成及模拟效果。典型准规则斑图中，ｑ＝１、２、３、４、６的图形，以及大部分均匀随机网图形等都属此类。图８是利用公式（２）产生的平铺式均匀随机网几何图案，它们像一张精心绘制的华丽地毯铺展现在人们眼前，向人们展示着数学的奥妙与神奇。这些图案是对２０１１年流行的平铺式几何图案的放大模拟（例如设计师Ｍａｒｎｉ的作品），可以以一种特殊的非传统的平铺式印花表现在抽象几何艺术形式上。图９所示的准规则斑图，是通过对准规则斑图数学公式改变其参数ｑ值或对其进行迭加函数ｆ（ｕ，ｖ）干扰而得到的一类呈现ｑ次对称的图形，他们完全由纯粹的线条、点、圆圈以及各类块状图等组成，既抽象又美丽，装饰性极强。这些图形是对２０１１年流行图案的局部放大模拟，其中图９（ｄ）和图９（ｅ）是对图９（ａ）、（ｂ）两个图案的放大模拟，图９（ｆ）是对设计师Ｓｐｏｒｔｍａｘ温婉的亮片彩色条纹裙图案（例如图９（ｃ））的放大模拟。这些图案应用于染织图案设计可直接作为四方连续纹样，也可进行随机组合分布。

２．２组合数学方法的染织图案设计在数学图形创作过程中，由于数字技术的要求，视觉的感官色彩感受必须进行数字化处理，也就造成数码作品缺乏亲和力；再次，数码创作的机械条理导致缺乏表现语言的生动和表现形式的鲜活；另外，由于现代科技含量过高导致创作和表现的差异，引起人们对数学图形在情感上的距离。基于以上缘由，大部分的数学图形还需要通过不同数学方法之间的组合进行二次设计，以使其与大众的审美情趣相吻合。

２．２．１基于数学曲线的几何艺术矩形图案的实现原本简单无趣的数学曲线随着计算机技术的发展，具有超乎想象的艺术美，尤其是通过组合多种数学方法对其曲线进行二次设计后，图案不仅色彩缤纷，造型丰富，而且还符合当下染织图案的流行趋势，是一种既时尚又经典的图案。图１０的几何艺术矩形图案是以数学曲线为基础，对不同的数学曲线进行参数变换、函数变换、颜色调整以及拼接旋转等二次设计得出的符合当下流行趋势的图案。它是对ＨｏｕｓｅｏｆＨｏｌｌａｎｄ的艺术＆手工艺怀旧矩形图案的模拟，其详细程序流程为：ａ．根据各曲线的绘制原理，设定其参数值，ｐｌｏｔ是输出图形和便于着色的函数；ｂ．ｒ循环确定迭代初始点，根据各曲线公式计算得到其相应的初始坐标，设置坐标原点为屏幕中央；ｃ．通过ｉ循环继续计算得到ｘ，ｙ坐标；ｄ．根据ｐｌｏｔ函数确定的ｄ值以及ＲＧＢ值确定点的大小并对其着色；ｅ．转至下一点，直至读完参数空间内的所有点。最后对生成的各种曲线图形进行拼接，即生成如图１０所示的几何图案。应注意对曲线所在平面进行颜色变换时，可以对ｆｉｇｕｒｅ参数值进行调节。

２．２．２基于弱混沌的几何格子图案的实现弱混沌图形作为一种新的艺术形式，其形态因计算机处理而巧妙地具备了全新的审美理念，构图美丽怪异，色彩是对比与协调的完美统一，它的外观形式感、造型感以及其不受约束的色彩感等方面，都能为几何染织图形带来无穷韵创意灵感，而这也正是应用弱混沌图形进行几何图案设计的基础。另外对弱混沌图形进行二次设计，还可以借鉴弱混沌图形丰富大胆的色彩组成，来强化几何图案的主题。图略选择简洁时髦的格子图案为雏形，结合准规则斑图、格子活泼的形式以及上下变化的方向，形成上下跳跃和呼应的样式，使图案更显情趣；色彩的鲜明运用，增强了图案的艺术张力与视觉冲击力，具有鲜明的时代感。这些格子图案是对２０１１年流行的英伦格子和苏格兰格等传统风格的彩格图案的模拟。其详细程序流程为：ａ．选定参数，根据准规则斑图生成原理，对由哈密顿量确定的ｑ次准对称随机网进行平滑化操作，确定其迭代函数ｇ（ｕ，ｖ），计算Ｈ值，并对点（ｎｘ，ｎｙ）着色，以此循环，即可得到基本图形素材；ｂ．对生成基本图形素材进行失真化处理，即利用ｃｏｌｏｒｍａｐ函数作索引色彩处理，并利用ｚｏｏｍ函数强行放大；ｃ．利用函数ｆｉｌｌ填充变化过于频繁的色块，进行细节化处理；ｄ．根据想要的图形效果，或对基本元素进行变化，或通过ＲＧＢ值变换色彩。

３结语

基于数学图形设计的染织图案完全符合人们的审美、时代的需求。同时，也为几何图案的设计探索了一条新的途径。依据当下染织图案流行趋势，将基于数学的几何图案进行直接或组合设计，使抽象的理论应用到实际设计中，有利于推广数学在几何图案设计中的应用，具有十分可观的实用价值。基于数学图形设计的几何图案变化无穷，而对其通过模拟当下流行的几何图案进行不同数学方法间的组合设计，能够创造出千姿百态、各具特色、既时尚又经典的艺术图案，为染织图案设计提供良好的基础。