１引言
地面坡度是描述地表形态最基本的地形因子。目前，数字高程模型（ＤＥＭ）自动提取栅格矩阵的坡度，已成为ＧＩＳ平台软件普遍采用的方法。国内外学者提出了多种以ＤＥＭ计算坡度的数学模型，刘学军（２００２）等对此做了系统的分类与总结［１］，目前，普遍采用的计算模型，主要包括最大坡降算法、简单差分算法、二阶差分算法、边框差分算法以及三阶差分算法［２－５］等。与模型的构建同样重要的是模型的精度评价与误差分析。以ＤＥＭ求算坡度的误差影响因素主要有ＤＥＭ数据精度、ＤＥＭ结构，以及坡度计算模型的精度等［６］。文献［７］研究了ＤＥＭ数据结构对求算坡度精度的影响，文献［８－１０］分析了ＤＥＭ数据分辨率、ＤＥＭ数据精度及ＤＥＭ方向对求算坡度精度的影响，更多的研究集中在求算模型的精度分析上［１１－１４］。文献［１５］对现今存在的主要差分模型分析比较，明确了不同差分模型的精度差异。然而，尽管前人研究基本明确了坡度计算模型误差的来源、分布特征，以及不同差分模型的精度，也有学者提出新的计算思路（Ｆｌｏｒｉｎｓｋｙ，２００９），但其提出的５×５分析窗口方法，首先进行区域三次多项式曲面拟合，然后再计算坡度等地形因子，其计算量非常大［１６］。综上，目前还没有相关研究针对模型误差的特点去构建更高精度而且不增加计算复杂度的坡度模型。经对坡度模型误差特点的分析，本文提出了一种新的差分模型。即通过合理的选取差分节点，使差分模型的舍去误差尽可能的小。同时设计数学曲面，对比分析了原有差分模型与本文提出的新模型的求算精度。
２坡度算法模型的误差分析
地表上某点的坡度Ｓ是地形曲面函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在东西、南北方向上高程变化率的函数，即：Ｓ＝ａｒｃｔｇｆ２ｘ＋ｆ２槡ｙ（１）式中，ｆｘ是东西方向高程变化率，ｆｙ是南北方向高程变化率。由上式可以看出，求算地表某点坡度的关键是求算ｆｘ和ｆｙ。由于格网ＤＥＭ是以离散点的形式存储地表高程，地形曲面以及曲面函数一般是未知的。因此，ＤＥＭ求解ｆｘ和ｆｙ一般是在局部范围内（图１），通过数值微分或者局部曲面拟合的方法进行。文献［１］总结了以数值微分方法计算坡度的常用计算模型，主要有二阶差分（２ＦＤ）、三阶不带权差分（３ＦＤ）、三阶反距离平方权差分（３ＦＤＷＲＳＤ）等，其计算公式如表１所示。如前所述，坡度的误差来源于高程采样误差、ＤＥＭ结构，以及计算模型。本文重点分析计算模型的误差，进而提出新的计算模型。因此，不再考虑高程采样误差，以及ＤＥＭ结构对坡度误差的影响。以二阶差分为例，坡度算法模型的误差来源由如下公式导出，在８（ｘ＋ｇ，ｙ）点、２（ｘ－ｇ，ｙ）（ｇ为格网宽度）点处，按照泰勒级数将ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）展开取前三项有：在不考虑高程采样误差与ＤＥＭ结构对坡度提取精度影响的情况下，以格网ＤＥＭ计算坡度的误差主要由（４）、（５）式决定。因此，构建新模型的基本思想就是寻求新的差分模型，使得（４）、（５）式在格网点的值尽可能的小。
３５节点二阶差分模型
由（４）、（５）式可以看出，差分计算得到的ｆｘ与ｆｙ的误差与ｇ２成正比。因此，减小网格长度可以提高差分估值精度。当网格长度减小为ｇ／２时，估计误差分别为：对于足够小的格网长度，有ｆ?ｘ（ξｘ，ｙ）≈ｆ?ｘ（ξ珋ｘ，ｙ），ｆ?ｘ（γｘ，ｙ）≈ｆ?ｘ（γ珔ｘ，ｙ），ｆ?ｙ（ｘ，ξｙ）≈ｆ?ｙ（ｘ，ξ珋ｙ），ｆ?ｙ（ｘ，ｒｙ）≈ｆ?ｙ（ｘ，γ珔ｙ）．需要指出的是，对于高精度的ＤＥＭ数据（例如，分辨率为１ｍ）。相邻栅格点的形态变化不大，该假设仍然成立，则有减小网格尺寸意味着数据分辨率的增加，也即数据存储量的增加。本文所提出的新模型是以不改变数据的分辨率为基础的。为此，可以通过增大分析窗口的方法实现多分辨率的需求（图２）。以２ｇ，ｇ两种分辨率代替上述推导过程的两种分辨率。根据图２，可以将（９）、（１０）式改写为式（１１）（假定计算点１３处的偏导数）。由于该模型实际上是用到了两种分辨率的格网数据，总共需要５个格网节点（包括计算格网点），并且对于每种分辨率计算时用的是二阶差分模型。因此，本文将该差分模型命名为５节点二阶差分模型（５ＮｏｄｅＳｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒＦｉｎｉｔｅＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅ，５Ｎ－２ＦＤ）。的优势在于其方程是确定的，可以求得曲面上点的坡度真实值，因而有利于比对不同模型的求算精度。
４模型的实验分析
为了分析５节点二阶差分模型求算坡度的精度，试验选取数学曲面验证模型的精度。
４．１数学曲面选取考虑实际地表的复杂性，所选择的数学曲面应尽可能地包含实际地表曲面类型。为此，本文选择高斯合成曲面（图３）来模拟地表。高斯曲面尽可能地包含了实际自然地表具有的山顶、洼地、不同形态的坡地，以及平地等地表形态，可以综合评价坡度算法模型对不同地表类型的适应能力。
４．２模型实验结果与分析对上述数学曲面按一定分辨率离散化后建立相应的ＤＥＭ，为了分析数据分辨率对该模型计算坡度精度的影响，本文采用两种分辨率对数学曲面离散化，分别为１ｍ和５ｍ。在此ＤＥＭ上分别采用５节点二阶差分模型，以及对比差分模型计算坡度，通过模型计算值与理论值的比较则可以定量描述不同模型算法的精度。精度指标采用中误差，计算公式为：式中，σ为所计算的中误差；ｆｉ，ｆ′ｉ分别为坡度的理论值与差分计算值；ｎ为离散点个数。采用５节点二阶差分模型，以及对比模型的计算结果如表２所示。从表２中可以看出，在不考虑其他误差因素影响的前提下，本文所提出的５节点二阶差分模型可以显著地提高坡度的计算精度。以对比模型中精度最高的计算结果为比较对象，将所计算的坡度值与５节点二阶差分模型计算的坡度值做比值作为新模型计算精度提高的指标，结果如表２最后一列所示。可以看出，与常规差分模型相比，５节点二阶差分模型可以显著提高求算坡度的精度。当离散化曲面建立的ＤＥＭ分辨率为１ｍ时，５节点二阶差分模型计算坡度的精度可以提高７×１０４倍以上，当ＤＥＭ分辨率为５ｍ时，计算精度可以提高３×１０３倍以上，表明该模型对于高分辨率的ＤＥＭ数据可以更显著地提高计算坡度的精度。图（４）和图（５）为采用不同坡度算法模型求算实验曲面结果误差分布的等值线图和频率分布图。从图中可以看出：（１）与常规的插值模型类似，本文提出的５节点二阶差分模型求算结果的误差主要集中在峰谷以及曲面的剧烈转折点处。（２）由于５节点二阶差分模型是由二阶差分模型改进而来，因此，二者的误差分布等值线基本类似。（３）与普通的差分模型相比，５节点二阶差分模型求算结果的误差分布更集中。例如，对于分辨率为１ｍ的ＤＥＭ，３个对比差分模型计算结果的误差的聚集区间为［－４×１０－５，７×１０－５］、［－６×１０－５，１１×１０－５］与［－６×１０－５，１０×１０－５］，而５节点二阶差分模型的聚集区间为［－１×１０－９，１×１０－９］。因此，５节点二阶差分模型计算结果的误差更集中在０附近，并且与３种对比计算模型相比，本文提出的新模型计算误差统计直方图的峰值更接近于０。
５结论
精确计算坡度值是诸多地学分析的前提条件，构建高精度的坡度算法是数字地形分析重要的研究内容。基于ＤＥＭ计算的坡度，其精度影响因素主要为ＤＥＭ误差、ＤＥＭ结构和坡度计算模型。本文主要在分析坡度差分求算模型的误差特征的基础上，提出一种新的差分模型———５节点二阶差分模型。研究表明：（１）采用５节点二阶差分模型计算坡度与其他差分模型相比，计算结果的精度得到显著提高。而且当数据分辨率较高时（例如１ｍ），该模型计算坡度精度更高；（２）５节点二阶差分模型求算坡度的误差分布与二阶差分模型类似，但是误差值更集中于０附近，并且误差分布的峰值更接近于０；（３）该模型通过增大分析窗口的方法满足其需要两种分辨率的格网数据的要求，充分利用数据中的内含信息，在不增加数据存储量的前提下提高坡度的计算精度。本文进一步的研究工作将是分析高阶差分模型误差的特点，进而将本文提出的双分辨率二阶差分模型推广到高阶差分模型。
